GeoGebrakokeilu lyhyen matikan MB4 (derivaatta) -kurssilla

Minulla oli pieni kuuden oppilaan MB4 ryhmä johtuen jostain kummallisuudesta tuntitarjottimessa. Kokeilimme matematiikan opiskelua tietokoneen ja GeoGebran avulla. Oppikirjana oli Sigma-sarjan 4-kirja. Kaksoistunneilla käytimme konetta, yksinkertaisilla tunneilla kynää ja paperia ja laskinta. Oppitunnit olivat maanantaina 13-15, tiistaina 8-9 ja torstaina 8-10.

Alla toteutunut kurssi, se ei mennyt ihan suunnitelmien mukaan johtuen sairauksistani jotka verottivat tunteja minun johdollani.

1-2 tunti. Tietokoneiden virittämistä, GeoGebran käynnistämistä ja perustoimet. Piirretään suoria. Liukuja. y = kx + b. Kirjan tehtävät 1-7 GeoGebralla ja ilman. CAS:lla yhtälön -1/3 x -1= 0 ratkaisu. kotiin 1 – 7

3. tunti suoria käsin piirrettynä

4.-5. tunti Paraabeleja, nollakohta, koordinaattiakselien leikkauspisteet. Yhtälön ratkaisu piirtämällä ja CAS:lla. Tehtävät 8, 12-16, Luciapäivänvaus hävitti toisen tunnin osittain.

6.-7. Tunti Milloin funktion arvot ovat positiivisia. Epäyhtälön 1 aste ratkaisua käsin ja koneella graafisesti ja CASin kanssa. Vastauksen kirjoittaminen oikein. 22-32

8. tunti, ope flunssassa

9.-10. tunti. Toisen asteen lausekkeen merkki, toisen asteen epäyhtälöt, yleisesti epäyhtälön f(x) >= 0 ratkaisu kuvaajasta. GeoGebralla kuvaajia ja ratkaisuja CAS:lla. 37- 46

joululoma

11-12. tunti. Kasvunopeus GeoGebralla. Piirrettiin paraabeli ja suora, jonka kulmakerrointa muutettiin liu’ulla. Laskettiin f :n derivaatan arvoja eri funktioilla GG:llä tyyliin
f(x) = 0.5x^2
f ’(3)
Lopuksi opiskeltiin derivaattafunktion f ’(x) tuottaminen GeoGebralla ja sitten käsin derivoimissääntöjen avulla. Kirjan laskuja käsin ja koneella tarkistamalla.

13. tunti Derivoimista käsin tyyliin kirjan laskuja 87 – 100

14.-15. tunti GeoGebralla derivoimista, funktion ja derivaatan piirtämistä. Derivaatan nollakohta. Ratkaisut syöttökentän ja kuvaajan avulla. Tarkat arvot CAS:lla. Laskuja 106-…

16.-17. Samaa kuin edellisellä tunnilla, enemmän CAS:n käyttöä. samoja laskuja GeoGebralla ja käsin.

18. tunti Kuvaajien tulkintaa. nollakohta, merkkikaaviot yms. Derivaatan merkkitaulukko kuvaajien avulla ilman tietokonetta. Tehtävät tyyppiä 153 – 157.

19-20. tunti Mikko Kööpenhaminassa, derivointia sijaisen avustuksella, kertauskoe

21-22 tunti Suurin arvo suljetulla välillä. Piirtoalueen avulla, kuvaajasta ja derivaatan avulla. CAS:in kanssa myös tarkat arvot. Kirjan tehtäviä 189-

23 tunti geometria sovelluksia kevyesti, kirjan tehtävät 207, 209 käsin

24-25 tunti Mikko A-viruksessa, itsenäistä opiskelua kirjasta

26-27 tunti Edelleen Mikko pipi

28 tunti geometrian sovelluksia käsin ja CAS:lla

29-30 tunti kertausta tietokoneella, Kirjan harjoituskoe 1 tehtävät 1, 2, 3, 5, 8

Kommentteja kurssista

Tavoitteenani oli derivaattakäsitteen ymmärtäminen enemmän kuin kirjainlaskennon harjoittelu käsin. Alkuun tietokoneen käytön opiskelun kului aika paljon aikaa. Kaikki eivät koko kurssin aikana oppineet käyttämään GeoGeberaa ”sujuvasti”. Onneksi tunteja oli paljon sillä matkani ja sairauteni takia menetimme muutaman tunnin “Mikon” opetusta.

Oppitunnit sujuivat mukavasti, toki tietokone aiheutti monella tunnilla erilaisia ongelmia, pienessä ryhmässä niiden ratkominen onnistui helposti. Alussa oppilaiden muutosvastarinta oli melkoisen suurta, loppua kohden kaikki työskentelivät koneen avustuksella reippaasti, kukin omien taitojensa mukaan. Oppilaiden tuntityöskentely pienessä ryhmässä sujui hyvin ja tunneilla oli oikea työnteon tunnelma, pienessä ryhmässä opetuskeskustelutkin sujuivat mukavasti. Sain vaikutelman, että pyrkimykseni asioiden ymmärtämiseen onnistui.

Kurssikoe oli perus laskennallinen koe. Oppilailla oli käytössä laskin, taulukkokirja ja tietokone/GeoGebra. Ratkaisut esitettiin paperille. Oppilaiden lähtötasoon nähden tulokset vastasivat odotuksia. Ne joilla oli parempi lähtötaso saivat paremmat tulokset kuin ne joilla lähtötaso oli huterammalla pohjalla.

Yllätyksekseni ”parhaat” oppilaat eivät juurikaan osanneet tai halunneet käyttää GeoGebraa ja  CAS:ia apuna yhtälön ratkaisuissa ja näin menettivät paljon pisteitä turhiin laskuvirheisiin sulkeiden poistossa tai käytäessään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Yleisesti ottaen olen hieman pettynyt oppilaiden kokeessa osoittamasta osaamisesta. Veikkaan, että jos tätä olisi tehty useammalla kurssilla ja enemmän olisin opetuksessa keskittynyt ratkaisujen puhtaaksikirjoittamiseen paperille niin lopputulos olisi ollut parempi. Silti en aio heittää kirvestä kaivoon vaan aion käyttää tämän kaltaista menetelmää tulevaisuudessakin.

 

Onnistunut ja epäonnistunut GeoGebratunti tietokoneluokassa

Minulla on pieni 10 oppilaan MB4 kurssin ryhmä (se tarkoittaa, että tulevissa ryhmissä on 30+ oppilasta), jonka kanssa olen muutaman kerran ollut tietokoneluokassa perjantain 12.20 alkavilla kaksoistunneilla opiskelemassa funktioiden kuvaajien piirtämistä, nollakohtien ratkaisua ja muuta vastaavaa.

Kaksoistunnin aihe oli funktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Paikalla oli vain neljä oppilasta johtuen id-juhlasta ja perjantaista. Sattumoisin kaikki paikalla olleet olivat motivoituneita opiskelemaan ja muutenkin fiksuja nuoria joten minulla oli mahdollisuus testailla omia ajatuksiani. Myös nuo poissa olevat oppilaat ovat fiksuja ja taitavia tietokoneen käytössä ja hieman minua harmitti kun he jäivät paitsi tästä oppimismahdollisuudesta. Olin testaillut opetusideaani kotikoneellani, siinä on MacOS 10.6.4 ja GeoGebra 3.2.42.0 uusimmilla Java-päivityksillä.

Toki tässä tarinassani en kerro kaikkia tekemiäni virheitä opetustilanteessa vaan sen ”kuvitteellisen” opetustapahtuman.

Koulun koneissa on MacOS 10.5.8, sama GeoGebra ja kaikki päivitykset tehtynä muutama viikko sitten.

Ensimmäinen tunti

Johdattelin oppilaitani taululla muutamin sanoin minne ollaan menossa ja sitten otimme Sigman tehtävän numero 213, jossa piti löytää funktion g(x) = -x^2 – 4x +1 pienin arvo.

Teimme yhdessä suurinpiirtein seuraavasti.

Käynnistimme Webstartin kautta GeoGebran.

Kirjoitimme syöttökenttään

g(x) = -x^2 – 4x +1

tässä yhteydessä selvitimme, että Macissa pitää korpraalimerkin jälkeen laittaa välilyönti tai sitten käyttää syöttökentän oikealla puolella olevaa valikkoa ja valita potenssi sieltä.

Kuvaajan perusteella saimme vastauksen näkyville, eli se näytti olevan aika tarkkaan 5.

Samalla pohdiskelimme mikä on funktion pienin arvo ja lopulta päädyimme filosofiseen totuuteen, että sitä ei ole.

Näppäily

g’(x)

tuotti derivaatan kuvaajan. Seuraavaksi etsimme derivaatan nollakohdan komennolla

Leikkauspiste

[g'(x), 0]

GG tuotti algebraikkunaan pisteen A = (-2, 0) ja tästä näimme, että derivaatan nollakohta on -2.

Funktion suurin arvo saatiin kirjoittamalla syöttökenttään;

g(x(A))

Tulokseksi tuli a = 5.

Tässä vaiheessa päätimme tallentaa tuotoksemme, jotta työmme ei katoa bittiavaruuten jos käy jostain syystä hassusti.

Laskimme tällä menetelmällä pari muuta samanlaista paraabeleihin liittyvää tehtävää.

Sitten oli aika siirtyä suljettuun väliin.

Tässä vaiheessa selitin Boolen logiikkaa sekä jos, ja, tai ja ei sanojen merkitystä matematiikan ja ohjelmoinnin kannalta.

Sigman tehtävässä 216 a pitää ratkaista funktion g(y) = 7 – y suurin ja pienin arvo välillä [0, 8].

Pienen ja syvällisen opetuskeskustelun (ja yrityksen ja erehdyksen avulla) jälkeen toivoin että nuoret ymmärtävät että kirjoittamalla seuraava virke saadaan funktion kuvaaja näkyviin. Tässä piti myös opiskella miten ≥ ja ≤ -merkit saadaan näppäimistöltä.

Ensin muutettiin g:n määritelmä muotoon

g(x) = 7 – x

ja sen jälkeen

f(x) = Jos[x ≥ 0 ∧ x ≤ 8, g(x)]

Ja merkki tulee samasta pudotusvalikosta kuin tuo toinen potenssi aika alhaalta.

Mielestäni opimme paljon vaikkapa funktiokäsitteestä ja matematiikan merkintätapojen voimasta.

Geogebra näytti edelleen g suoran kokonaisuudessaan joten se piti piilottaa näpsäyttämällä algebraikkunassa g:n pallukka pois päältä.

Kuvaajasta näkyi selvästi, että suurin arvo on vasemmassa reunassa arvoltaan noin 7 ja pienin oikeassa reunassa eli noin -1. Koska funktiolla ei ollut nollakohtaa niin GG kertoi asiasta että piste on määrittelemätön. Lisäksi g’:n kuvaaja kertoi, että derivaatalla ei ole nollakohtaa.

Tässä vaiheessa ensimmäinen tunti olikin pulkassa ja opettaja siirtyi puuteroimaan nenää ja osa oppilaista siirtyi välipalalle ja loput vissiin Facebookiin vai minne ne nuoret koneilla menevätkään.

Toinen tunti

Tietysti unohdin tehtäväni valvoa välipalaa koska rehtorini kertoi, että pitäisi tehdä tarinaa kansainvälisestä yhteistyöstä koulun toimitakertomukseen ja piti katsoa mihin paikkaan Wilmassa se kirjoitetaan. Lopulta ehdin työpisteeseeni jossa rupattelin ruokalamme isännän kanssa Internetin tulosta kouluumme. Hän on kotoisin Kiteeltä ja kertoi kuinka Internet tuli erään loistavan opettajan myötä hänen kouluunsa 80-luvun lopussa (Hylliin se tuli 92 huippunopean modeemin avulla), hän kertoi myös hauskoja tarinoita opettajan tavasta kaataa roskakori niiden oppilaiden niskaan jotka jäivät kiinni karamellin syönnistä oppitunnilla.

Kun kaikki oppilaat ja opettaja olivat paikalla pullanmurusia suupielistään pyyhkien päästiin taas asiaan.

Sigman tehtävässä 216 b piti hakea funktion g(x)=0.2x^2-0.8x+4 suurin ja pienin arvo välillä [0, 8].

Muutimme g funktion lausekkeen kirjoittamalla Syöttökenttään

g(x) = 0.2 x² - 0.8 x + 4

Suurin ja pieninhän löytyy laskemalla GeoGebgralla

f(0)

ja

f(8).

Noista kolmesta a, b ja c arvoista oli helppoa valita suurin ja pienin.

Tässä vaiheessa opettajaa alkoi kihelmöittää vieläkin yleisempi ratkaisu, matematiikan opettaja kun olen.

Loimme uudet muuttujat

vasen = 0

ja

oikea = 8.

Kaksoisklikkaamalla f:ää algebraikkunassa tuli Määrittele uudelleen -ikkuna. Kun vasemman reunan nollan korvasi muuttujan nimellä vasen ja 8:n nimellä oikea ja napsautti Hyväksy niin alkoi tapahtua kummia. Koneiden Java jumittui ja opettajalta alkoi hiki tippua.

OK, olin tunnilla ja ohjelmat/koneet kaatuvat. Ison opetusryhmän kanssa varmaan menisi hermot.

Kun muutaman tovin jälkeen tajusimme yhdessä että jokin on pielessä niin oppitunti oli jo lopuillaan.

Lopputunnilla kerroin vielä miten kirjainlaskennallisesti tällainen ongelma ratkotaan, sen jälkeeen annoin muutaman peruskotitehtävän ja sitten lähdin seuraavalle viikon viimeiselle oppitunnille.

Vaikka oppitunnilla koneiden sekoilu aiheutti ongelmia niin silti uskon että oppilaat oppivat jotain matematiikasata ja aiheena olleesta suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Viimeisen tunnin jälkeen kirjoitin Wilmaan noin 10 min tarinaa kansaivälisyydestä. Kun tallensin niin Wilma sanoi että ”Computer says no” eli ”ei voittoa” eli ”menin muuten nurin ja tarinasi katosi, oletpa sinä pöllö kun et ensin kirjoittanut wordilla ja copypastannut sitten tänne” eli ”eikösinuaolekoulutettuverkkopedagogiikkaansenkinhölmö”.

Lähdin kotiin itkemään. Mieskin voi itkeä.

Pohdintaa

Kotikoneellani yritin toistaa virheellisen toiminnon, mutta se ei onnistunut eli uudemmassa käyttöjärjestelmässä ohjelma toimii OK. Tein viimeistellymmän version jossa piiretään pisteet ääriavojen kohdalle. Muutin derivaatan kuvaajan punaiseksi, jotta se näkyisi selvemmin. Luku a on funktion arvo derivaatan nollakohdassa, b ja c funktion arvot vasemmassa ja oikeassa reunassa.

Alla GeoGebran objektiluetteloikkuna kuvana.

Tämä sovellus toimii vaikka derivaatan nollakohtia olisi useampiakin, toki silloin pitää itse laskea funktion arvot derivaatan nollakohdissa.

GeoGebra sovellus löytyy osoitteesta http://hyl.edu.hel.fi/~mrahikka/gg/suurinarvo.html

Mikko Rahikka